動画では双曲線関数だが一対一対応などで紹介されている方法である$x=tan\theta$とする場合も考えておく。
積分した結果、$与式=log\sqrt{\frac{1+sin\theta}{1-sin\theta}}+C$となる。この後は$cos\theta=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}},sin\theta=\sqrt{1-cos^{2}\theta}=\sqrt{\frac{x^2}{x^2+1}}$でxの式に書き換えればいい。
2018年12月31日月曜日
2018年12月25日火曜日
1/6公式の一般化
瞬間部分積分と1/6公式の1/6公式のくだりの説明が変なので書き直し。
$I_{p,q} =\int^{\alpha}_{\beta}(x-\alpha)^p(\beta-x)^qdx=\int^{\alpha}_{\beta}\{\frac{1}{p+1}(x-\alpha)^{p+1}\}^{\prime}(\beta-x)^qdx$
$=[\frac{1}{p+1}(x-\alpha)^{p+1}(\beta-x)^q]-\int^{\alpha}_{\beta}\frac{q}{p+1}(x-\alpha)^{p+1}(\beta-x)^{q-1}(-1)dx$ $=0+\int^{\alpha}_{\beta}\frac{q}{p+1}(x-\alpha)^{p+1}(\beta-x)^{q-1}dx$ $=\frac{q\cdot(q-1)・・・}{(p+1)(p+2)・・・}I_{p+q,0}$ $=\frac{q!p!}{(p+q)!}\frac{1}{p+q+q}\int^{\beta}_{\alpha}(\beta-\alpha)^{p+q+1}$ $=\frac{q!p!}{p+q+1}\int^{\beta}_{\alpha}(\beta-\alpha)^{p+q+1}$
ちなみに$(\beta-x)$を$(x-\beta)$にすると$(-1)^q\frac{q!p!}{p+q+1}\int^{\beta}_{\alpha}(\beta-\alpha)^{p+q+1}$となり符号の分めんどい。 こういうのを第一種オイラー積分というらしい。
$=[\frac{1}{p+1}(x-\alpha)^{p+1}(\beta-x)^q]-\int^{\alpha}_{\beta}\frac{q}{p+1}(x-\alpha)^{p+1}(\beta-x)^{q-1}(-1)dx$ $=0+\int^{\alpha}_{\beta}\frac{q}{p+1}(x-\alpha)^{p+1}(\beta-x)^{q-1}dx$ $=\frac{q\cdot(q-1)・・・}{(p+1)(p+2)・・・}I_{p+q,0}$ $=\frac{q!p!}{(p+q)!}\frac{1}{p+q+q}\int^{\beta}_{\alpha}(\beta-\alpha)^{p+q+1}$ $=\frac{q!p!}{p+q+1}\int^{\beta}_{\alpha}(\beta-\alpha)^{p+q+1}$
ちなみに$(\beta-x)$を$(x-\beta)$にすると$(-1)^q\frac{q!p!}{p+q+1}\int^{\beta}_{\alpha}(\beta-\alpha)^{p+q+1}$となり符号の分めんどい。 こういうのを第一種オイラー積分というらしい。
2018年12月17日月曜日
２変数を１変数にして解く問題
参考動画
$\sqrt{x}+\sqrt{y}\leq k\sqrt{2x+y}$となる最小のk
①二つのベクトル$\mathbb{A}=\left( \begin{array}{c} \sqrt{2x} \\ \sqrt{y} \\ \end{array} \right)\\$, $\mathbb{B}=\left( \begin{array}{c} \frac{1}{\sqrt{2x}} \\ 1 \\ \end{array} \right)\\$でコーシーシュワルツの定理(三角不等式とも見れる)$\left|\mathbb{A}\right|^2\left|\mathbb{B}\right|^2\ge(\mathbb{A}\cdot \mathbb{B})^2$を使って解く(等号は$\mathbb{A}//\mathbb{B}$)
②$t=\sqrt{\frac{y}{x}}$とおいて、左辺を$\sqrt{\frac{tの二次式}{tの二次式}}(これをFとおく)右辺をk$とした時のFについてのtの判別式を使った実数条件での値域導出、二次関数の正の異なる2解を持つ条件の利用
③$t=\frac{y}{x}$とおいてtの式(f(t)とおく)とkに左辺と右辺に分離したときのf(x)について増減表を書く(動画内の説明)
④$tan\theta＝\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{2x+y}}、cos\theta＝\sqrt{\frac{2x}{2x+y}}$とおく
２変数を分数にして１変数化する解法はこの動画でも使われている
$\sqrt{x}+\sqrt{y}\leq k\sqrt{2x+y}$となる最小のk
①二つのベクトル$\mathbb{A}=\left( \begin{array}{c} \sqrt{2x} \\ \sqrt{y} \\ \end{array} \right)\\$, $\mathbb{B}=\left( \begin{array}{c} \frac{1}{\sqrt{2x}} \\ 1 \\ \end{array} \right)\\$でコーシーシュワルツの定理(三角不等式とも見れる)$\left|\mathbb{A}\right|^2\left|\mathbb{B}\right|^2\ge(\mathbb{A}\cdot \mathbb{B})^2$を使って解く(等号は$\mathbb{A}//\mathbb{B}$)
②$t=\sqrt{\frac{y}{x}}$とおいて、左辺を$\sqrt{\frac{tの二次式}{tの二次式}}(これをFとおく)右辺をk$とした時のFについてのtの判別式を使った実数条件での値域導出、二次関数の正の異なる2解を持つ条件の利用
③$t=\frac{y}{x}$とおいてtの式(f(t)とおく)とkに左辺と右辺に分離したときのf(x)について増減表を書く(動画内の説明)
④$tan\theta＝\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{2x+y}}、cos\theta＝\sqrt{\frac{2x}{2x+y}}$とおく
２変数を分数にして１変数化する解法はこの動画でも使われている
2018年12月16日日曜日
高校で頑張れば将来潰しが効く科目
倫理→福祉系の資格(介護福祉士、精神保険福祉士、社会福祉士)
政経→法律系の資格(行政書士、司法書士、宅建、弁護士)
物理→電気系の資格(電気工事士、電気主任技術者)
化学→危険物、薬物系の資格(危険物取扱者、毒物劇物取扱者)
これらが全てではないですが、ざっと挙げただけで履歴書に書いてその道に進める国家資格に繋がります。これら科目は英語国語数学に比べてコスパがよく、それは高校を卒業しても通用するものです。忘れる前にこう入った資格に手を出しても絶対損はしないでしょう。
政経→法律系の資格(行政書士、司法書士、宅建、弁護士)
物理→電気系の資格(電気工事士、電気主任技術者)
化学→危険物、薬物系の資格(危険物取扱者、毒物劇物取扱者)
これらが全てではないですが、ざっと挙げただけで履歴書に書いてその道に進める国家資格に繋がります。これら科目は英語国語数学に比べてコスパがよく、それは高校を卒業しても通用するものです。忘れる前にこう入った資格に手を出しても絶対損はしないでしょう。
2018年12月12日水曜日
ルートの中に分数がある積分の解き方
この動画で使ってました
$\int_0^1\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}dx$の積分の方法をコメント欄からまとめ
①$t=\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$とおいて、$t=tan\theta$と置き直す
②$t=\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$とおいて、tと$\frac{d}{dt}\frac{1}{t^2+1}=-\frac{4t}{(t^2+1)^2}$で部分積分
③$t=cosx$または$sinx$とおく
$\int_0^1\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}dx$の積分の方法をコメント欄からまとめ
①$t=\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$とおいて、$t=tan\theta$と置き直す
②$t=\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$とおいて、tと$\frac{d}{dt}\frac{1}{t^2+1}=-\frac{4t}{(t^2+1)^2}$で部分積分
③$t=cosx$または$sinx$とおく
2018年12月10日月曜日
2018年12月9日日曜日
2018年12月8日土曜日
ヘロンの公式が覚えにくいので書き方を変えてみた
この動画で使ってました
$s=\frac{a+b+c}{2}$を使って
$S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
つまりsを展開して書くと $S=\sqrt{(\frac{a+b+c}{2})(\frac{-a+b+c}{2})(\frac{a-b+c}{2})(\frac{a+b-c}{2})}$
sを基準に考えるとS=(全部+)(aだけ-)(bだけ-)(cだけ-)にルートを被せたものとなる。私はs媒介して入れ子で覚えるより一つの式の方が覚えやすい。
$s=\frac{a+b+c}{2}$を使って
$S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
つまりsを展開して書くと $S=\sqrt{(\frac{a+b+c}{2})(\frac{-a+b+c}{2})(\frac{a-b+c}{2})(\frac{a+b-c}{2})}$
sを基準に考えるとS=(全部+)(aだけ-)(bだけ-)(cだけ-)にルートを被せたものとなる。私はs媒介して入れ子で覚えるより一つの式の方が覚えやすい。
確認表示灯（パイロットランプ）の常時点灯、同時点滅、異時点滅 の書き方
スイッチが何と並列になるかで書き分ければいい。つまりスイッチと何かもう１つの2つだけしかない輪を作ってその両側から接続すればいい。
2018年10月9日火曜日
場合の数：初めから場所を決めてから計算するか場所を決める計算をするかの判断の仕方
「四人席と三人席の二つの円卓に六人がつくときABの二人が四人席につく座り方」
これはABの振り分けを決めて(ABが四人席につく場合は1つ)から他の人の振り分けを計算する。
キーになるのは場合が限られる要素でまとめること
2018年9月22日土曜日
センター数学積分コツ
瞬間部分積分と1/6公式
動画のコメント欄で「部分積分は偉大」、「瞬間部分積分では〜」というコメントがある。
そこで効きなれない瞬間部分積分というものを調べてみた。
瞬間部分積分のやり方と例題２問 | 高校数学の美しい物語によれば部分積分の要点だけ抜き出した解法らしい。
普通に部分積分をしてもいいけど簡略化して書くと法則性が見えやすくなってΣでも表したくなってくるのだと思う。 上の動画の1/6公式導出と合わせて検算的に使えるといい。
f(x)に微分演算をすることをびf(x)、積分演算することをせf(x)とかけば
$S(x)=\int^{a}_{b}f(x)g(x)dx=\sum^{n}(-1)^{k}び^{k-1}f(x)せ^{k}g(x)$
と表せる。微分と積分の演算回数が1回分ずれていることに注意(これは瞬間部分積分というより部分積分の注意点)。
f(x)の次数+1回微分演算をするとf(x)だったものが定数となり計算がラクになることを利用すれば、$f(x)=(x-\alpha)^{m}, g(x)=(x-\beta)^{n}ならx=\alpha,\beta$のとき1~k番目の項は0となる。結果として残ったk+1番目の項の$(-1)^{k+1}\frac{m!n!}{(m+n+1)!}(x-\beta)^{n+m+1}$
だけが残り$S(x)=0-(-1)^{k+1}\frac{m!n!}{(m+n+1)!}(\alpha-\beta)^{n+m+1}=(-1)^{k+2}\frac{m!n!}{(m+n+1)!}(\alpha-\beta)^{n+m+1}$
が得られる。 m,nに適当な値を入れれば1/6,1/12,1/30公式などが得られる。上の動画の場合(m,n)=(2,1)となっている。こういうのを第一種オイラー積分というらしい。
2018年9月19日水曜日
バウムクーヘン積分の大学入試での使い方
便利であることはわかってもこれを十分わかっていて使っていると採点している人に気づいてもらえないと点数にならないかもしれない。
ここの説明では
ΔV≒2πxyΔx すなわち △V/△x≒2πxy …… ①
Δx → 0 のとき，① の両辺の差は 0 に近づくから
V'＝2πxy
と記述することでこの積分の理解を示している。ちなみに東大では過去にバウムクーヘン積分を題材にした問題が出題されている。
2018年9月18日火曜日
「必要十分条件を求めろ」という問題
この動画で使ってました
必要か十分かの判断はA(十分条件)⇒B(必要条件)の関係を考えれば問題ない。
動画内10:47での「$a_1 - \frac{b}{3r-2}=0$なら$a_n$は等比数列」はA(十分条件)⇒B(必要条件)に当てはめれば「$a_1 - \frac{b}{3r-2}=0$」が十分条件、「$a_n$は等比数列」が必要条件となる。
またここによれば必要条件、十分条件の求め方については その条件の特別な場合でいったん条件を求め、その求まった条件がすべての場合で成り立つ十分条件でもあることを示すということらしい。
必要か十分かの判断はA(十分条件)⇒B(必要条件)の関係を考えれば問題ない。
動画内10:47での「$a_1 - \frac{b}{3r-2}=0$なら$a_n$は等比数列」はA(十分条件)⇒B(必要条件)に当てはめれば「$a_1 - \frac{b}{3r-2}=0$」が十分条件、「$a_n$は等比数列」が必要条件となる。
またここによれば必要条件、十分条件の求め方については その条件の特別な場合でいったん条件を求め、その求まった条件がすべての場合で成り立つ十分条件でもあることを示すということらしい。
回転行列は加法定理で覚えるとラク！
この動画で使ってました
半径が1の単位円を考えて座標を(x,y),偏角をφとします。
加法定理の式
\begin{align}
sin \theta \times x + cos \theta \times y= sin(\theta + \phi) \\
cos \theta \times x- sin \theta \times y= cos(\theta + \phi)
\end{align}
これを行列に書き直しただけで回転行列になります。
\begin{align}
\left(
\begin{array}{cc}
sin \theta & cos \theta \\
cos \theta & -sin\theta
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
x \\
y
\end{array}
\right) =
\left(
\begin{array}{c}
sin(\theta + \phi) \\
cos(\theta + \phi)
\end{array}
\right)
\end{align}
x^n+y^nの因数分解
この動画で使ってました
nが奇数の時
\begin{align}
x^{n}+y^{n} = (x+y)\sum_{0}^{n-1}(-1)^{k+1}x^{k}y^{n-1-k}
\end{align}
nが偶数の時
\begin{align}
x^{n}-y^{n} = (x-y)\sum_{0}^{n-1}x^{k}y^{n-1-k}
\end{align}
\begin{align}
= (x+y)\sum_{0}^{n-1}(-1)^{k+1}x^{k}y^{n-1-k}
\end{align}
2018年6月23日土曜日
東進の失敗点
・いちから授業をするというスタイル。実際は穴だらけ。網羅性が低い。網羅するだけなら参考書で断然安く学習できる。
・職員が学習ペースを監視してケツを叩くシステム。基本的に職員は社員の行ったことを聞くアルバイト。社員も上の言いなりのペーペー。よって学習ペースのアドバイスは東進の体質であるブラック企業的なまくしたてるようなものとなっている。教育するに能わないただのブラック企業がブラック企業体質を学生に体験させる最低のシステム。
・そもそも学生、現場社員、現場アルバイト、社員上層部、講師で方針のコンセンサスが取れていない。CMで語られる魅力的な売り文句は薄っぺらいハリボテである。これも自社の腐敗度を意識することができないまま事業範囲を広げてしまった結果だと言える。
2018年2月14日水曜日
さいたま市周り図書館特徴
[さいたま市立中央図書館]
高齢者が多くモラル低下の一因
なぜか水曜日は朝から混む(他の施設と関係がありそう)
朝早く来れば快適な書斎席
衝立設備が行き届いているほど早く借りられてしまう
一般席は子どもが通りやすくやかましくなりがち
トイレは新しいが汚い(高齢者の下半身の管理が甘い)
みんなに使ってもらいたいためか環境維持の取り組みが弱い
眺めがよくあってほしいところの眺めが悪く、どうでもいいところは眺めがいい(トイレから見える夕焼けがきれい)
集中したい一般人席のすぐ近くに自動ドアがあり物音が立ちやすく気が利いてない
床の材質、構造が音が立ちやすく響きやすいので気がきいていない
[川口市立中央図書館]
さいたま市立中央図書館と同じく高齢者が多い
一般席がさいたま市立中央図書館より質がいい
職員の環境維持の取り組みが強い
[戸田市立図書館]
自習席全てに衝立あり、数も多い
基本的に音が少ない環境
トイレが古くて少ない(利用者数も少ないので問題ではない)
喫煙所と行き来しやすいのでタバコ臭いおっさんがいる
[東京都北区立図書館]
高齢者が多いが無神経に物音を立てたりする人の割合が低い(これがさいたま民と都民の差か！)
2018年2月1日木曜日
参考書とかノートに書いたほうがいいこと
この考え方ができないと先に進めないということをどんどん書き込む。
ノートは一番手をつけやすい形にする。参考書に書き込めるなら次からそれを開くだけで復習できるからそれの方がいい。
公式とかは書いてあるから基本書いたりしないが、覚えきれてないと思うところだけ強調する。
当たり前のことだけど当たり前のことをいつでも意識してその通りに行動するのは難しい。
ノートは一番手をつけやすい形にする。参考書に書き込めるなら次からそれを開くだけで復習できるからそれの方がいい。
公式とかは書いてあるから基本書いたりしないが、覚えきれてないと思うところだけ強調する。
当たり前のことだけど当たり前のことをいつでも意識してその通りに行動するのは難しい。
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