２変数を１変数にして解く問題

参考動画
$\sqrt{x}+\sqrt{y}\leq k\sqrt{2x+y}$となる最小のk
①二つのベクトル$\mathbb{A}=\left( \begin{array}{c} \sqrt{2x} \\ \sqrt{y} \\ \end{array} \right)\\$, $\mathbb{B}=\left( \begin{array}{c} \frac{1}{\sqrt{2x}} \\ 1 \\ \end{array} \right)\\$でコーシーシュワルツの定理(三角不等式とも見れる)$\left|\mathbb{A}\right|^2\left|\mathbb{B}\right|^2\ge(\mathbb{A}\cdot \mathbb{B})^2$を使って解く(等号は$\mathbb{A}//\mathbb{B}$)
②$t=\sqrt{\frac{y}{x}}$とおいて、左辺を$\sqrt{\frac{tの二次式}{tの二次式}}(これをFとおく)右辺をk$とした時のFについてのtの判別式を使った実数条件での値域導出、二次関数の正の異なる2解を持つ条件の利用
③$t=\frac{y}{x}$とおいてtの式(f(t)とおく)とkに左辺と右辺に分離したときのf(x)について増減表を書く(動画内の説明)
④$tan\theta＝\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{2x+y}}、cos\theta＝\sqrt{\frac{2x}{2x+y}}$とおく
２変数を分数にして１変数化する解法はこの動画でも使われている