1/6公式の一般化

瞬間部分積分と1/6公式の1/6公式のくだりの説明が変なので書き直し。 $I_{p,q} =\int^{\alpha}_{\beta}(x-\alpha)^p(\beta-x)^qdx=\int^{\alpha}_{\beta}\{\frac{1}{p+1}(x-\alpha)^{p+1}\}^{\prime}(\beta-x)^qdx$
$=[\frac{1}{p+1}(x-\alpha)^{p+1}(\beta-x)^q]-\int^{\alpha}_{\beta}\frac{q}{p+1}(x-\alpha)^{p+1}(\beta-x)^{q-1}(-1)dx$ $=0+\int^{\alpha}_{\beta}\frac{q}{p+1}(x-\alpha)^{p+1}(\beta-x)^{q-1}dx$ $=\frac{q\cdot(q-1)・・・}{(p+1)(p+2)・・・}I_{p+q,0}$ $=\frac{q!p!}{(p+q)!}\frac{1}{p+q+q}\int^{\beta}_{\alpha}(\beta-\alpha)^{p+q+1}$ $=\frac{q!p!}{p+q+1}\int^{\beta}_{\alpha}(\beta-\alpha)^{p+q+1}$
ちなみに$(\beta-x)$を$(x-\beta)$にすると$(-1)^q\frac{q!p!}{p+q+1}\int^{\beta}_{\alpha}(\beta-\alpha)^{p+q+1}$となり符号の分めんどい。 こういうのを第一種オイラー積分というらしい。