瞬間部分積分と1/6公式

動画のコメント欄で「部分積分は偉大」、「瞬間部分積分では〜」というコメントがある。
そこで効きなれない瞬間部分積分というものを調べてみた。
瞬間部分積分のやり方と例題２問 | 高校数学の美しい物語によれば部分積分の要点だけ抜き出した解法らしい。
普通に部分積分をしてもいいけど簡略化して書くと法則性が見えやすくなってΣでも表したくなってくるのだと思う。 上の動画の1/6公式導出と合わせて検算的に使えるといい。
f(x)に微分演算をすることをびf(x)、積分演算することをせf(x)とかけば
$S(x)=\int^{a}_{b}f(x)g(x)dx=\sum^{n}(-1)^{k}び^{k-1}f(x)せ^{k}g(x)$
と表せる。微分と積分の演算回数が1回分ずれていることに注意(これは瞬間部分積分というより部分積分の注意点)。
f(x)の次数+1回微分演算をするとf(x)だったものが定数となり計算がラクになることを利用すれば、$f(x)=(x-\alpha)^{m}, g(x)=(x-\beta)^{n}ならx=\alpha,\beta$のとき1~k番目の項は0となる。結果として残ったk+1番目の項の$(-1)^{k+1}\frac{m!n!}{(m+n+1)!}(x-\beta)^{n+m+1}$
だけが残り$S(x)=0-(-1)^{k+1}\frac{m!n!}{(m+n+1)!}(\alpha-\beta)^{n+m+1}=(-1)^{k+2}\frac{m!n!}{(m+n+1)!}(\alpha-\beta)^{n+m+1}$
が得られる。 m,nに適当な値を入れれば1/6,1/12,1/30公式などが得られる。上の動画の場合(m,n)=(2,1)となっている。こういうのを第一種オイラー積分というらしい。