動画では双曲線関数だが一対一対応などで紹介されている方法である$x=tan\theta$とする場合も考えておく。
積分した結果、$与式=log\sqrt{\frac{1+sin\theta}{1-sin\theta}}+C$となる。この後は$cos\theta=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}},sin\theta=\sqrt{1-cos^{2}\theta}=\sqrt{\frac{x^2}{x^2+1}}$でxの式に書き換えればいい。
2018年12月31日月曜日
2018年12月25日火曜日
1/6公式の一般化
瞬間部分積分と1/6公式の1/6公式のくだりの説明が変なので書き直し。
$I_{p,q} =\int^{\alpha}_{\beta}(x-\alpha)^p(\beta-x)^qdx=\int^{\alpha}_{\beta}\{\frac{1}{p+1}(x-\alpha)^{p+1}\}^{\prime}(\beta-x)^qdx$
$=[\frac{1}{p+1}(x-\alpha)^{p+1}(\beta-x)^q]-\int^{\alpha}_{\beta}\frac{q}{p+1}(x-\alpha)^{p+1}(\beta-x)^{q-1}(-1)dx$ $=0+\int^{\alpha}_{\beta}\frac{q}{p+1}(x-\alpha)^{p+1}(\beta-x)^{q-1}dx$ $=\frac{q\cdot(q-1)・・・}{(p+1)(p+2)・・・}I_{p+q,0}$ $=\frac{q!p!}{(p+q)!}\frac{1}{p+q+q}\int^{\beta}_{\alpha}(\beta-\alpha)^{p+q+1}$ $=\frac{q!p!}{p+q+1}\int^{\beta}_{\alpha}(\beta-\alpha)^{p+q+1}$
ちなみに$(\beta-x)$を$(x-\beta)$にすると$(-1)^q\frac{q!p!}{p+q+1}\int^{\beta}_{\alpha}(\beta-\alpha)^{p+q+1}$となり符号の分めんどい。 こういうのを第一種オイラー積分というらしい。
$=[\frac{1}{p+1}(x-\alpha)^{p+1}(\beta-x)^q]-\int^{\alpha}_{\beta}\frac{q}{p+1}(x-\alpha)^{p+1}(\beta-x)^{q-1}(-1)dx$ $=0+\int^{\alpha}_{\beta}\frac{q}{p+1}(x-\alpha)^{p+1}(\beta-x)^{q-1}dx$ $=\frac{q\cdot(q-1)・・・}{(p+1)(p+2)・・・}I_{p+q,0}$ $=\frac{q!p!}{(p+q)!}\frac{1}{p+q+q}\int^{\beta}_{\alpha}(\beta-\alpha)^{p+q+1}$ $=\frac{q!p!}{p+q+1}\int^{\beta}_{\alpha}(\beta-\alpha)^{p+q+1}$
ちなみに$(\beta-x)$を$(x-\beta)$にすると$(-1)^q\frac{q!p!}{p+q+1}\int^{\beta}_{\alpha}(\beta-\alpha)^{p+q+1}$となり符号の分めんどい。 こういうのを第一種オイラー積分というらしい。
2018年12月17日月曜日
２変数を１変数にして解く問題
参考動画
$\sqrt{x}+\sqrt{y}\leq k\sqrt{2x+y}$となる最小のk
①二つのベクトル$\mathbb{A}=\left( \begin{array}{c} \sqrt{2x} \\ \sqrt{y} \\ \end{array} \right)\\$, $\mathbb{B}=\left( \begin{array}{c} \frac{1}{\sqrt{2x}} \\ 1 \\ \end{array} \right)\\$でコーシーシュワルツの定理(三角不等式とも見れる)$\left|\mathbb{A}\right|^2\left|\mathbb{B}\right|^2\ge(\mathbb{A}\cdot \mathbb{B})^2$を使って解く(等号は$\mathbb{A}//\mathbb{B}$)
②$t=\sqrt{\frac{y}{x}}$とおいて、左辺を$\sqrt{\frac{tの二次式}{tの二次式}}(これをFとおく)右辺をk$とした時のFについてのtの判別式を使った実数条件での値域導出、二次関数の正の異なる2解を持つ条件の利用
③$t=\frac{y}{x}$とおいてtの式(f(t)とおく)とkに左辺と右辺に分離したときのf(x)について増減表を書く(動画内の説明)
④$tan\theta＝\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{2x+y}}、cos\theta＝\sqrt{\frac{2x}{2x+y}}$とおく
２変数を分数にして１変数化する解法はこの動画でも使われている
$\sqrt{x}+\sqrt{y}\leq k\sqrt{2x+y}$となる最小のk
①二つのベクトル$\mathbb{A}=\left( \begin{array}{c} \sqrt{2x} \\ \sqrt{y} \\ \end{array} \right)\\$, $\mathbb{B}=\left( \begin{array}{c} \frac{1}{\sqrt{2x}} \\ 1 \\ \end{array} \right)\\$でコーシーシュワルツの定理(三角不等式とも見れる)$\left|\mathbb{A}\right|^2\left|\mathbb{B}\right|^2\ge(\mathbb{A}\cdot \mathbb{B})^2$を使って解く(等号は$\mathbb{A}//\mathbb{B}$)
②$t=\sqrt{\frac{y}{x}}$とおいて、左辺を$\sqrt{\frac{tの二次式}{tの二次式}}(これをFとおく)右辺をk$とした時のFについてのtの判別式を使った実数条件での値域導出、二次関数の正の異なる2解を持つ条件の利用
③$t=\frac{y}{x}$とおいてtの式(f(t)とおく)とkに左辺と右辺に分離したときのf(x)について増減表を書く(動画内の説明)
④$tan\theta＝\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{2x+y}}、cos\theta＝\sqrt{\frac{2x}{2x+y}}$とおく
２変数を分数にして１変数化する解法はこの動画でも使われている
2018年12月16日日曜日
高校で頑張れば将来潰しが効く科目
倫理→福祉系の資格(介護福祉士、精神保険福祉士、社会福祉士)
政経→法律系の資格(行政書士、司法書士、宅建、弁護士)
物理→電気系の資格(電気工事士、電気主任技術者)
化学→危険物、薬物系の資格(危険物取扱者、毒物劇物取扱者)
これらが全てではないですが、ざっと挙げただけで履歴書に書いてその道に進める国家資格に繋がります。これら科目は英語国語数学に比べてコスパがよく、それは高校を卒業しても通用するものです。忘れる前にこう入った資格に手を出しても絶対損はしないでしょう。
政経→法律系の資格(行政書士、司法書士、宅建、弁護士)
物理→電気系の資格(電気工事士、電気主任技術者)
化学→危険物、薬物系の資格(危険物取扱者、毒物劇物取扱者)
これらが全てではないですが、ざっと挙げただけで履歴書に書いてその道に進める国家資格に繋がります。これら科目は英語国語数学に比べてコスパがよく、それは高校を卒業しても通用するものです。忘れる前にこう入った資格に手を出しても絶対損はしないでしょう。
2018年12月12日水曜日
ルートの中に分数がある積分の解き方
この動画で使ってました
$\int_0^1\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}dx$の積分の方法をコメント欄からまとめ
①$t=\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$とおいて、$t=tan\theta$と置き直す
②$t=\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$とおいて、tと$\frac{d}{dt}\frac{1}{t^2+1}=-\frac{4t}{(t^2+1)^2}$で部分積分
③$t=cosx$または$sinx$とおく
$\int_0^1\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}dx$の積分の方法をコメント欄からまとめ
①$t=\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$とおいて、$t=tan\theta$と置き直す
②$t=\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$とおいて、tと$\frac{d}{dt}\frac{1}{t^2+1}=-\frac{4t}{(t^2+1)^2}$で部分積分
③$t=cosx$または$sinx$とおく
2018年12月10日月曜日
2018年12月9日日曜日
2018年12月8日土曜日
ヘロンの公式が覚えにくいので書き方を変えてみた
この動画で使ってました
$s=\frac{a+b+c}{2}$を使って
$S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
つまりsを展開して書くと $S=\sqrt{(\frac{a+b+c}{2})(\frac{-a+b+c}{2})(\frac{a-b+c}{2})(\frac{a+b-c}{2})}$
sを基準に考えるとS=(全部+)(aだけ-)(bだけ-)(cだけ-)にルートを被せたものとなる。私はs媒介して入れ子で覚えるより一つの式の方が覚えやすい。
$s=\frac{a+b+c}{2}$を使って
$S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
つまりsを展開して書くと $S=\sqrt{(\frac{a+b+c}{2})(\frac{-a+b+c}{2})(\frac{a-b+c}{2})(\frac{a+b-c}{2})}$
sを基準に考えるとS=(全部+)(aだけ-)(bだけ-)(cだけ-)にルートを被せたものとなる。私はs媒介して入れ子で覚えるより一つの式の方が覚えやすい。
確認表示灯（パイロットランプ）の常時点灯、同時点滅、異時点滅 の書き方
スイッチが何と並列になるかで書き分ければいい。つまりスイッチと何かもう１つの2つだけしかない輪を作ってその両側から接続すればいい。
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