因数分解の方法

・でかい数が9で割れるか
・和の項と他の項の偶奇は一致していない(一致ならはじめに共通因数でくくれるはず)
・(ax+b)(cx+d)でこれ以上くくれないならaとbは互いに素(cとdでも同様)
・平方完成
・素数の判定：小さい素数から初めてその数の√に一番近い素数までで割りきれなかったら素数
・それらを考慮した上て最小限のパターンで試行錯誤する
 

センター数学積分コツ

・ミスしそうな複雑な計算は剰余の定理を使って組み立て除法(「f(α)=f(x)を(x-α)で割った余り」を利用)
・導関数で割った余りを使う(f'(α)=0となる導関数で割ればf(α)=余りとなって計算がラク)

・1/6公式を使う

瞬間部分積分と1/6公式

動画のコメント欄で「部分積分は偉大」、「瞬間部分積分では〜」というコメントがある。
そこで効きなれない瞬間部分積分というものを調べてみた。
瞬間部分積分のやり方と例題２問 | 高校数学の美しい物語によれば部分積分の要点だけ抜き出した解法らしい。
普通に部分積分をしてもいいけど簡略化して書くと法則性が見えやすくなってΣでも表したくなってくるのだと思う。 上の動画の1/6公式導出と合わせて検算的に使えるといい。
f(x)に微分演算をすることをびf(x)、積分演算することをせf(x)とかけば
$S(x)=\int^{a}_{b}f(x)g(x)dx=\sum^{n}(-1)^{k}び^{k-1}f(x)せ^{k}g(x)$
と表せる。微分と積分の演算回数が1回分ずれていることに注意(これは瞬間部分積分というより部分積分の注意点)。
f(x)の次数+1回微分演算をするとf(x)だったものが定数となり計算がラクになることを利用すれば、$f(x)=(x-\alpha)^{m}, g(x)=(x-\beta)^{n}ならx=\alpha,\beta$のとき1~k番目の項は0となる。結果として残ったk+1番目の項の$(-1)^{k+1}\frac{m!n!}{(m+n+1)!}(x-\beta)^{n+m+1}$
だけが残り$S(x)=0-(-1)^{k+1}\frac{m!n!}{(m+n+1)!}(\alpha-\beta)^{n+m+1}=(-1)^{k+2}\frac{m!n!}{(m+n+1)!}(\alpha-\beta)^{n+m+1}$
が得られる。 m,nに適当な値を入れれば1/6,1/12,1/30公式などが得られる。上の動画の場合(m,n)=(2,1)となっている。こういうのを第一種オイラー積分というらしい。

視覚的にわかりやすくする方法

組立除法とか数列の和の計算(こんなやつ)とか瞬間部分積分(特にこういうやり方)とかわかりやすい形に並べて計算に直接関係のない文字などを省略して整理する手法はとっても大切だと思いました。

バウムクーヘン積分の大学入試での使い方

便利であることはわかってもこれを十分わかっていて使っていると採点している人に気づいてもらえないと点数にならないかもしれない。
ここの説明では

　ΔV≒2πxyΔx　　すなわち　　△V/△x≒2πxy …… ①

　Δx → 0 のとき，① の両辺の差は 0 に近づくから

　V'＝2πxy

と記述することでこの積分の理解を示している。
ちなみに東大では過去にバウムクーヘン積分を題材にした問題が出題されている。

「必要十分条件を求めろ」という問題

この動画で使ってました
必要か十分かの判断はA(十分条件)⇒B(必要条件)の関係を考えれば問題ない。
動画内10:47での「$a_1 - \frac{b}{3r-2}=0$なら$a_n$は等比数列」はA(十分条件)⇒B(必要条件)に当てはめれば「$a_1 - \frac{b}{3r-2}=0$」が十分条件、「$a_n$は等比数列」が必要条件となる。
またここによれば必要条件、十分条件の求め方については その条件の特別な場合でいったん条件を求め、その求まった条件がすべての場合で成り立つ十分条件でもあることを示すということらしい。

回転行列は加法定理で覚えるとラク！

この動画で使ってました 半径が1の単位円を考えて座標を(x,y),偏角をφとします。 加法定理の式 \begin{align} sin \theta \times x + cos \theta \times y= sin(\theta + \phi) \\ cos \theta \times x- sin \theta \times y= cos(\theta + \phi) \end{align} これを行列に書き直しただけで回転行列になります。 \begin{align} \left( \begin{array}{cc} sin \theta & cos \theta \\ cos \theta & -sin\theta \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} sin(\theta + \phi) \\ cos(\theta + \phi) \end{array} \right) \end{align}

x^n+y^nの因数分解

この動画で使ってました nが奇数の時 \begin{align} x^{n}+y^{n} = (x+y)\sum_{0}^{n-1}(-1)^{k+1}x^{k}y^{n-1-k} \end{align} nが偶数の時 \begin{align} x^{n}-y^{n} = (x-y)\sum_{0}^{n-1}x^{k}y^{n-1-k} \end{align} \begin{align} 　　　　　　　　= (x+y)\sum_{0}^{n-1}(-1)^{k+1}x^{k}y^{n-1-k} \end{align}